11. Introduction to Jump Processes

11.1 Introduction

jump-diffusion process에 대하여 학습한다. 명명에서 "diffusion" 부분은 이러한 프로세스들이 Brownian motion component 혹은 더 일반적으로 말하면 Brownian motion과 관련된 적분과 관련된 것을 의미한다. 게다가 이러한 프로세스의 paths는 jump를 갖는다. 이 챕터에서는 각각의 일정한 유한 시간에서 유한의 많은 jumps들이 존재하는 특별한 경우에 대하여 다룰 것이다.
 일정한 유한 시간에서 무한의 많은 jumps들이 있는 상황에서 프로세스를 만들수 있지만, 그러한 프로세스들은 각 positive 임계치가 주어 졌을때 어떤 일정 유한 시간에서 오직 유한의 jumps만이 임계치를 초과하는 사이즈를 가질 수 있다.(One can also construct processes in which there are infinitely many jumps in a finite time interval, although for such processes it is necessarily the case that, for each positive threshold, only finitely many jumps can have a size exceeding the threshold in any finite time interval.) 임계치를 초과한 수는 임계치에 의존하며 임계치가 0에 가까워지면 엄청 커질수 있다. 이러한 프로세스는 여기서 다루지 않지만, 여기서 다루는 이론은 그러한 프로세스들이 어떻게 분석되어질 수 있는지에 대한 몇몇 아이디어를 제공한다.
  fundamental pure jump process는 Poisson process이고, Section 11.2에서 다룬다. Poisson process의 모든 jumps는 size one 이다. 복합적인 Poisson process는 하나의 Poisson process와 같지만 jumps는 random size이다. 복합적인 Poisson process는 Section 11.3에서 다룬다.
Section 11.4에서 jump process가 nonrandom initial condition, Brownian motion dW(t)와 관련된 Ito integral, dt와 관련된 Riemann integral 그리고 pure jump process의 합이되는 것을 정의한다. Pure jump process는 0에서 시작하고, 주어진 유한 시간 동안 유한의 많은 jumps를 갖으며 jumps사이에서 constant하다. Section 11.4는 jump process와 관련된 stochastic integrals를 정의한다. stochastic integrals는 그들 자체로 jump processes이다. Section 11.4는 또한 jump processes와 그것들의 stochastic integrals의 quadratic variation을 살펴본다.
 Section 11.5에서는 jump processes를 위한 stochastic calculus를 설명한다. key result는 이러한 프로세스를 다루기 위해 Ito-Doeblin 공식을 확장하는 것이다.
 Section 11.6은 Poisson processes와 복합 Poisson processes를 위해 측정을 변화시키는 것(changing measures)을 시작한다. 우리는 어떻게 Brownian motion과 복합 Poisson process를 위해 동시에 측정(measure)를 변화할 수 있는가에 대한 논의를 결론지을 것이다. 이 변화의 효과는 Brownian motion의 drift와 복합 Poisson process를 위한 jump size의 intensity(average rate of jump arrival)와 distribution을 조정하는 것이다.
 Section 11.7에서 이러한 이론을 pricing과 jump-diffusion 모델에서 유로피언 콜을 부분적으로 헤지하는 문제에 대하여 적용한다.

11.2 Poisson Process

Brownian motion은 continuous path processes를 위한 기본 building block이라는 점에서 Poisson process는 jump processes를 위한 시작점이다. 이번 섹션에는 Poisson process와 기본 속성에 대해 알아본다.

11.2.1 Exponential Random Variables

τ 를 다음과 같은 density를 가진 random variable이라고 하자.



λ은 positive 상수이다. τ는 exponential distribution을 갖고 간단히 exponential random 변수라고 말한다. τ의 기대값은 부분들(parts)의 적분에 의해 계산 될수 있다.