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11.1 Introduction

jump-diffusion process에 대하여 학습한다. 명명에서 "diffusion" 부분은 이러한 프로세스들이 Brownian motion component 혹은 더 일반적으로 말하면 Brownian motion과 관련된 적분과 관련된 것을 의미한다. 게다가 이러한 프로세스의 paths는 jump를 갖는다. 이 챕터에서는 각각의 일정한 유한 시간에서 유한의 많은 jumps들이 존재하는 특별한 경우에 대하여 다룰 것이다.
 일정한 유한 시간에서 무한의 많은 jumps들이 있는 상황에서 프로세스를 만들수 있지만, 그러한 프로세스들은 각 positive 임계치가 주어 졌을때 어떤 일정 유한 시간에서 오직 유한의 jumps만이 임계치를 초과하는 사이즈를 가질 수 있다.(One can also construct processes in which there are infinitely many jumps in a finite time interval, although for such processes it is necessarily the case that, for each positive threshold, only finitely many jumps can have a size exceeding the threshold in any finite time interval.) 임계치를 초과한 수는 임계치에 의존하며 임계치가 0에 가까워지면 엄청 커질수 있다. 이러한 프로세스는 여기서 다루지 않지만, 여기서 다루는 이론은 그러한 프로세스들이 어떻게 분석되어질 수 있는지에 대한 몇몇 아이디어를 제공한다.
  fundamental pure jump process는 Poisson process이고, Section 11.2에서 다룬다. Poisson process의 모든 jumps는 size one 이다. 복합적인 Poisson process는 하나의 Poisson process와 같지만 jumps는 random size이다. 복합적인 Poisson process는 Section 11.3에서 다룬다.
Section 11.4에서 jump process가 nonrandom initial condition, Brownian motion dW(t)와 관련된 Ito integral, dt와 관련된 Riemann integral 그리고 pure jump process의 합이되는 것을 정의한다. Pure jump process는 0에서 시작하고, 주어진 유한 시간 동안 유한의 많은 jumps를 갖으며 jumps사이에서 constant하다. Section 11.4는 jump process와 관련된 stochastic integrals를 정의한다. stochastic integrals는 그들 자체로 jump processes이다. Section 11.4는 또한 jump processes와 그것들의 stochastic integrals의 quadratic variation을 살펴본다.
 Section 11.5에서는 jump processes를 위한 stochastic calculus를 설명한다. key result는 이러한 프로세스를 다루기 위해 Ito-Doeblin 공식을 확장하는 것이다.
 Section 11.6은 Poisson processes와 복합 Poisson processes를 위해 측정을 변화시키는 것(changing measures)을 시작한다. 우리는 어떻게 Brownian motion과 복합 Poisson process를 위해 동시에 측정(measure)를 변화할 수 있는가에 대한 논의를 결론지을 것이다. 이 변화의 효과는 Brownian motion의 drift와 복합 Poisson process를 위한 jump size의 intensity(average rate of jump arrival)와 distribution을 조정하는 것이다.
 Section 11.7에서 이러한 이론을 pricing과 jump-diffusion 모델에서 유로피언 콜을 부분적으로 헤지하는 문제에 대하여 적용한다.

11.2 Poisson Process

Brownian motion은 continuous path processes를 위한 기본 building block이라는 점에서 Poisson process는 jump processes를 위한 시작점이다. 이번 섹션에는 Poisson process와 기본 속성에 대해 알아본다.

11.2.1 Exponential Random Variables

τ 를 다음과 같은 density를 가진 random variable이라고 하자.



λ은 positive 상수이다. τ는 exponential distribution을 갖고 간단히 exponential random 변수라고 말한다. τ의 기대값은 부분들(parts)의 적분에 의해 계산 될수 있다.

Background

Harry Markowitz, William Sharpe, Merton Miller가 1990년 노벨 경제학상을 수상하면서 경제학 이론을 새로운 과학 이론으로 이끌어냈다. 이 이론은 경제 시장이 어떻게 동작하고, 더욱 효율적으로 만들수 있으며 규제를 어떻게 해야하는 지에 대하여 이해하려는 시도이다. 이것은 자본 할당에 있어 시장의 중요한 역할과 경제활동을 가능하게 하는 위험 완화에 대해서 설명한다. 거래와 규제의 실용적인 측면에서의 활용을 잃지 않으면서 경제이론은 점점 수학적이 되었다.
Harry Markowitz의 1952년 Ph.D 포트폴리오 선택 학위 논문은 수학적인 경제이론의 초석을 닦았다. Markowitz는 시장에서 분산(diversification)의 개념을 측정하는 것을 가능하게한 보통주(common stocks)의 평균수익(mean return)과 공분산(covariance)의 개념을 발견했다. 그는 주어진 포트폴리오의 평균수익과 분산(variance)를 계산하는 방법에 대하여 보여주었고 투자자들은 주어진 평균수익을 가진 모든 포트폴리오사이에서 최소의 분산을 가진 포트폴리오를 선택해야만 한다는 것을 주장하였다. 비록 경제의 언어는 현재 stochastic (Ito) calculus를 포함하지만, 수량화 할수 있는 방법에서 위험관리는 계량 경제학의 현대 실무와 이론(modern theory and practice)의 주제이다.
1969년 Robert Merton은 stochastic calculus를 경제학으로 소개했다. 머튼은 경제학의 고전 의문인  "equilibrium"인 경제시장에서 어떻게 가격이 정해지는를 이해하기 위한 욕구를 가지고 있었고 나중에 이것에 대해 machinery of stochastic calculus를 사용하여 논문을 작성한다.
 머튼의 작업과 동시에 Fischer Black과 Myron Scholes는 옵션 프라이싱 공식을 개발하고 있었다. 이것은 1997년 노벨 경제학상을 수상했다. 이것은 실용적으로 중요한 문제를 해결하는 방법을 제공하였다; 유로피언 콜 옵션의 fair price를 찾았다. 1979-1983년에 Harrison, Kreps, Pliska는 general theory of continuous-time stochastic processes를 사용하여 견고한 이론을 기반으로 Black-Scholes 옵션 계산 공식을 돌려보았고, 그 결과 다른 많은 파생상품들을 어떻게 프라이싱하는지를 보여주었다.
 경제학에서 많은 이론적인 발견은 경제시장에서 응용되었다. 어떻게 적용되었는지 이해하기 위해서 잠시 경제 기관의 역할에 대하여 살펴보자. 국가 경제 기관의 주요 기능은 연관된 고객사이의 중재에서 위험을 줄이는 것이다. 예를 들면, 보험산업은 많은 고객의 프리미엄을 가지고 있으며 실제로 손실을 입은 누군가를 위해 지불해야만 한다. 그러나 pooled-premium 보험이 이용가능하지 않을 경우 위험은 증가한다. 예를 들어, 높은 연료 가격의 hedge로써 항공사는 기름 값이 오를경우 값어치가 상승하는 금융상품(security)을 사기를 원할지도 모른다. 그러나 누가 그러한 상품을 팔것인가? 금융기관의 역할은 이러한 상품을 설계하고, fair 가격을 결정하고, 그것을 항공사에 파는 것이다. 이러한 상품은 보통 파생상품이다. "Fair"는 금융 기관이 그 상품을 팔고 그것이 거래가 될수 있도록 하여 실제로 기름값이 올랐을때 항공사로 차익을 지불할수 있는 상대방을 만드는 것 만큼만을 번다는 것을 의미한다. "Efficient" 시장은 "fair" 가격에 이용가능한 다양한 위험-헤지 상품들이 존재하는 것이다.
 Black-Scholes 옵션 가격 결정 공식은 처음에 위험-헤지 상품의 가격을 fair하게 정하는 이론적인 방법을 제공했다. 만약 투자은행이 fair보다 높은 가격에 파생상품을 제공한다면, underbid 될 것이다. 만약 fair 보다 낮은 가격을 제시했다면, 손실 위험을 가질 것이다. 이것은 은행이 시장의 효율성에 기여하는 파생상품을 많이 제공하는것을 주저하게 만든다. 특히, 은행은 미리 정해진 fair 가격을 가진 파생상품만을 제공하기를 원한다. 더욱이 은행이 이러한 상품을 팔면, 헤지 문제를 해결할수 있어야만 한다: 어떻게 새로운 포지션과 관련된 위험을 관리해야만 하는가? Black-Scholes 옵션 프라이싱 공식과 떨어져 수학적인 이론은 프라이싱과 헷징 문제의 해결책을 제공한다. 그러므로 이것은 특별한 파생상품의 탄생을 가능하게 한다. 이러한 이론이 이 책의 주제이다.

Relationship between Volumes I and II

Volume II는 경제 응용의 문맥에서 stochastic calculus의 continuous-time 이론을 다룬다. 이 이론의 설명은 이 작업의 존재이유이다. Volume II는 Brownian motion과 이것의 속성을 포함하는 stochastic calculus를 위해 필요한 probability 이론도 포함한다.
Volume I은 많은 경제 응용들을 설명하지만 discrete-time binomial model의 간단한 문맥에서 설명한다: martingales, Markov processes, change of measure, risk-neutral pricing.
II를 위해 I을 읽는것이 필수는 아니다. 단지 II의 어려운 개념을 I의 간단한 문맥에서 먼저 보는것이다.
카네기 멜론 대학에서는 II의 선수과목으로 I을 읽지만 CS, finance, mathematics, physics 그리고 statistics의 대학원생들은 II를 바로 공부한다.
I은 레퍼런스로 볼수 있다.

Summary of Volume I

Chapter 1. Binomial No-Arbitrage Pricing Model
Chapter 2. Probability Theory on Coin Toss Space; using martingales and Markov processes
Chapter 3. State Prices
Chapter 4. American Derivative Securities
Chapter 5. Random Walk
Chapter 6. Interest-Rate-Dependent Assets

Summary of Volume II

Chapter 1. General Probability Theory
; probability spaces, Lebesgue integrals, change of measure
Chapter 2. Information and Conditioning
; Independence, conditional expectations, properties of conditional expectations
Chapter 3. Brownian Motion
; quadratic variation, 3.6, 3.7은 chatper 7과 8에서만 사용됨
Chapter 4. Stochastic Calculus
; Core, Ito integral, Ito formula, 4.7은 Monte Carlo Simulation에서만 사용됨
Chapter 5. Risk-Neutral Pricing
; 측정의 변화에 대한 Girsanov's Theorem에 대해 진술하고 증명한다. 이는 Fundamental Theorems of Asset Pricing과 위험중립 프라이싱에 대해 다룬다. 
Chapter 6. Connections with Partial Differential Equations
; connection between stochastic calculus and partial differential equations
위에 언급한거 빼고는 전부 필수다.

Chapter 6 이후에는 선택적이다.
Chapter 7. Exotic Options
Chapter 8. Early Exercise
Chapter 9. Change of Numeraire; 10.4에서만 사용됨
Chapter 10. Term Structure Models
Chapter 11. Introduction to Jump Processes; 이 책의 다른 곳 어디서도 사용하지 않음